Родился в семье крестьянина, в 1926 г. переехал в Ленинград, где трудился на рабочих должностях. В 1933 г. закончил Ленинградский институт права, а в 1934 г. – аспирантуру при Коммунистической академии.  В том же году был направлен на работу в политотдел Северо-Западного пароходства. С этого времени более тридцати лет  находился на партийно-политической работе. В годы Великой Отечественной войны занимал должность заместителя начальника Политуправления Наркомата речного флота СССР, а с 1942 г. – заведующего сектором в аппарате ЦК КПСС. В послевоенные годы был заместителем министра речного флота СССР по политчасти, в 1953–1955 г. – работал при посольстве СССР в г. Пекине, КНР, а с 1956 г. – секретарем парткома  Министерства культуры СССР.

После передачи Оружейной палаты и музеев-соборов в подчинение Министерству культуры СССР из ведения кремлевской комендатуры 13 апреля 1960 г. был назначен директором образованных Государственных музеев Московского Кремля. При этом на  И. И. Цветкова была возложена задача по совершенствованию структуры  учреждения, формированию научных отделов, созданию и оснащению реставрационных мастерских, восстановлению и развитию основных видов музейной деятельности – научно-исследовательской, хранительской, популяризаторской, издательской. При нем был реорганизован Ученый совет и создан Методический совет, вошли в практику научные конференции, открылась постоянная экспозиция – «Музей прикладного искусства и быта ХVII века», организовывались многочисленные выставки, вышел первый выпуск сборника «Материалы и исследования», ставшего регулярным научным изданием музея.

В 1972 г. Иван Ильич  ушел с поста директора в связи с переходом на персональную пенсию всесоюзного значения.

Награжден орденами «Знак Почета» (1940 г.), «Красной Звезды» (1943 г.), «Трудового Красного знамени» (1945 г.), и восемью медалями, в том числе «За оборону Сталинграда», «За оборону Москвы», «За доблестный труд» и «За победу над Германией».